线性代数的本质：矩阵乘法与线性变换复合的联系

上一节线性代数的本质：矩阵与线性变换其实讲的是线性变换，矩阵它更像是一种函数或者对应法则 $f (x)$ ，蕴含着变换的信息，具体来说第一列就是i向量变换后的位置，第二列就是y向量变换后的位置，比如上一节的例子e.g.

[\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = x [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}] + y [\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 x + 3 y \\ - 2 x + 0 y \end{matrix}]

这其实已经涉及到了矩阵的乘法

但很多时候我们想描述多种变换，比如先旋转，再剪切

[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] ([\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}])

有趣的是这很像 $f (g (x))$ 也就是其实这是从右往左读的 -- 事实上是ABC是B先作用与C，然后A在作用

既然这是两次线性变换(类似于旋转伸缩)，那么就一定有一种旋转伸缩的变换能够和这两次伸缩变换起到同样的效果

事实上

[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

而这就是矩阵的乘法

其实矩阵的乘法有很多理解方法，这里只给出了一种线性变换的视角理解，其他的更数值的理解见Lecture 03 & Reading 2.4, 2.5 矩阵乘法逆矩阵

A B = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} ? & ? \\ ? & ? \end{matrix}]

这里的基本思路是

B中的第一列其实是第一次线性变换完后i的位置，这是一个单独的列向量，然后施加A矩阵的变换，也就是说

[\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] = 1 [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] + 1 [\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]

其实这里的起始就是A对两个列向量进行了线性变换(矩阵是向量的排列)，而这两个向量其实就是第一次变换完i和j的位置，或者说新的基底

所以说其实对于一个方阵的矩阵有两个视角 -- 一个是列向量的排列一个是线性变换关系的描述

其实这里的理解思路和Lecture 03 & Reading 2.4, 2.5 矩阵乘法逆矩阵中的列向量的理解结果矩阵是对A中列向量按B中列向量的方式线性组合的理解方式是一样的只不过所谓的B中列向量的这种方式事实上其实是i第一次变换后的位置也就是第二次要施加变换的向量